Nombre de diviseurs - Corrigé

Énoncé

Combien de diviseurs possède \(100^{100}\) ?

Solution

On a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}100&2\\ 50&2\\ 25&5\\ 5&5\\ 1\end{array}\end{align*}\)  donc \(100=2^2 \times 5^2\) .

On en déduit que :  \(100^{100}=(2^2 \times 5^2)^{100}=2^{200} \times 5^{200}\)  et ainsi, le nombre de diviseurs de  \(100^{100}\)  est égal à :  \((200+1) \times (200+1)=201 \times 201 = 40~401\) .